Я сделал всё, чтобы статья была понятна и интересна всем читателям.
Но если для вас здесь всё ясно, как 2x2, - не обижайтесь.
Ведь не все же такими умными сразу родились. ;)
Итак, система счисления - это всего лишь письменный и устный способ представления чисел.
Про устную составляющую мы говорить вообще не будем, займёмся правилами записи чисел.
То есть главный предмет - цифры и отношения между ними.
Хорошо бы ещё понять, что такое число, номер, цифра, количество...
Начнём с самого простого.
Одна цифра есть один условный письменный знак, который представляет число.
"0,1,2,3,4,5,6,7,8,9" - это цифры, принятые для нашей системы счисления.
"A,B,C,D,E,F" - это цифры, принятые в шестнадцатиричной системе для представления чисел 10d,11d,12d,13d,14d,15d.
Ещё совсем недавно большинство людей не имели представления об отвлечённых числах. Посмотрите, даже Даль в своём словаре толкует номер как число, и это отражает язык бытовых понятий, но сейчас взглянем на вопрос по-другому.
Мы привыкли думать, что номер выдаётся конкретному объекту, например: маршрут автобуса, место в театре или даже телефон обладают номером. То есть номер не существует вне связи с конкретным объектом, а это очень важное отличие от современного понятия числа.
Номер - это именование объекта в числовом виде.
Вот тут я на 100% согласен с Далем. Мы говорим: количество и качество чего-либо. Таким образом, говоря о количестве, мы измеряем свойство объекта. Выразить количество (веса, объёма, штук...) можно только через число, но не всякое число можно использовать для выражения количества. Простой пример: +20 градусов и -20 градусов есть одинаковое количество от нуля, но разные числа.
А от номера количество отличается тем, что оно есть у любого объекта, это обязательное свойство предмета.
Необъяснимое понятие.
Человечество только начало постигать эту загадочную субстанцию. Всё, чему мы научились, - выражать числа через отношения к единице или другим числам. С точки зрения науки нельзя определять понятие через само себя. А других способов я не знаю.
Чтобы не сильно мудрить, сразу ограничим разговор целыми числами, и по большей части речь пойдёт о натуральных
(положительных целых) числах. Однако нужно сознавать, что бывают и более сложные виды чисел:
рациональные, иррациональные, мнимые и даже те, которые мы ещё никак не называем, потому что просто ничего о них не знаем.
Мне кажется, для простого объяснения хотя бы натуральных чисел будет полезно быстренько пройтись по цепочке развития от обезьяны до Битфрая (поверьте, цепочка не очень длинная =).
Наш мозг имеет множество подходов к обработке чисел. Главным образом их можно разделить по таким свойствам:
дискретный счёт - выделение объектов в единицы или их части,
и чувственный счёт - восприятие изменений целиком.
Изначально для вычислений цифры были не нужны. Потому что никто даже не разделял предметы на единицы. Чтоб вы точно поняли, о чём я говорю, приведу пример:
\
\
\
\
\
Любой трезвый человек безошибочно определит, что эта "палка" расположена не вертикально (при наличии некоторой базы). Однако у нас нет транспортира. Как мы это делаем? Проводим цифровые вычисления? Или используем шаблон?
Нет, просто у каждого из нас есть свой хитрый компьютер для подобных целей. Результатом действий этого компьютера будет чувство разности - в данном случае чувственная разность между запомненной вертикалью (от видимой базовой линии) и положением этой "палки".
Большинство животных умеют выделять объекты, и они прекрасно чувствуют количество этих объектов. Научных доказательств у меня нет, но что-то подсказывает: некоторые животные всё-таки могут считать дискретно и даже передавать друг другу цифровую информацию (те же пчёлы).
Давайте предположим, как могли быть осознаны целые единицы и как возникли специальные знаки для их представления.
В одной умной книге (см. Историю математики, том I) написано, что первым шагом к цифровому счёту было установление "взаимно однозначного соответствия" между разными предметами.
Даже обезьяны могут разделить бананы среди детёнышей по штукам. Каждому малышу мама отдаёт один банан.
Таким образом, она неосознанно проводит "взаимно однозначное соответствие" между разными объектами (бананами и малышами).
Для того чтобы сделать самый элементарный выбор, желательно произвести осознанный прогноз. Счёт здесь просто необходим.
Нужно знать: сколько воды взять с собой в дорогу, сколько дней пути, сколько камней обработать для топоров... Так что совсем не удивительно, что через некоторое время появились существа, до которых дошло простейшее осознание постоянно повторяющегося вокруг них процесса.
Они специально начали выставлять предметы счёта друг перед другом, для того чтобы узнать, каких меньше.
Видимо, так и выглядел первый шаг к осознанию понятия числа.
Следующий шаг, очевидно, сделали люди. Они усовершенствовали этот метод.
"Колдуны", самые умные представители древних общин, выделили особые предметы для счёта.
Возможно, изначально это были камушки, возможно палочки, а может быть, и косточки врагов. Но со временем у большинства такими предметами стали части тела (ведь оно всегда с собой), в частности, пальцы.
Спустя некоторое время появился знак "I". Предположим, в виде зарубки на стволе дерева или угольной чёрточки на скале. Так числа обрели письменную форму.
Уже здесь можно говорить о принятии самой простой системы счисления.
Это система, основанная на сложении (аддитивная). Система с одним символом.
I = 1 II = 2 III = 3 IIII = 4 ...
Даже такой способ записи из одного символа (и счёт сложением) очень помог рассмотреть мир вокруг, а это позволило выжить и развиться.
Давайте рассмотрим эту систему по элементам.
Такая система счисления может представлять только целые положительные числа (натуральные).
Метод представления - сложение единственного символа в системе с другими такими же.
Параллельно с предметным счётом стали развиваться абстрактные категории.
Люди осознали, что число может быть не только предметным, то есть три стрелы, три собаки, три дня, но и отвлечённым - просто III.
По самым скромным подсчётам, от обезьяны с бананами до восприятия отвлечённых целых чисел прошло ~2,5 миллиона лет =).
Насколько мне известно, отвлечённые числа пришли к нам через геометрию, но об этом я писать не буду, хотя тема очень интересная. Почитайте сами в учебнике про то, как из условной записи геометрических задач началась алгебра.
Естественная потребность развития языка - называть всё, что видишь. Очень быстро каждая следующая единица обрела своё собственное имя. У разных народов этот процесс, видимо, происходил по-разному. Кто-то называл единицы как части тела (один - нос, два - глаза, или один - палец, два - кулак, три - локоть...), кто-то - как природные явления или предметы, а некоторые вперемешку. С развитием письменности стали возникать и соответствующие знаки (цифры).
Здесь, пожалуй, стоит посмотреть на римскую систему записи чисел.
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII ...
Что же мы видим?
Всё та же арифметика, натуральные числа.
Но теперь цифр много, и число формируется не только сложением, а ещё и вычитанием. В некотором роде прогресс.
Восприятие такого числа начинается не слева направо или наоборот, а с младшей цифры в числе.
Если она стоит слева от следующей по старшинству цифры, то её нужно отнимать, а если справа - то прибавлять.
Такая система даёт возможность относительно коротко записывать большие натуральные числа.
Однако здесь не хватает ещё одной мелочи, можно сказать, ничтожной мелочи, да нет, это даже не мелочь, это просто ничего - ноль.
Вы, наверное, слышали, что слово цифра - искажённый перевод древнего арабского слова со значением "пустое", так когда-то именовали ноль. Да и в русском языке слово цифра раньше означало именно ноль.
Как же люди могли додуматься использовать такую совершенно абстрактную категорию?
С одной стороны, при вычитании бОльшего числа из меньшего возникает странная субстанция, назовём её долг.
Она не давала покоя многим учёным, и не только им. Ведь ни один ростовщик никогда не смирится с тем, что долг считать нельзя.
C другой стороны - интерес к познанию мира.
На тот момент центром развития оказался Восток (главным образом, Индия и Китай). Заметьте, именно там люди особенно много думают о гармонии. Мудрецы всю свою жизнь ищут баланс, центр сил, точку равновесия. Найденные ответы выражаются самыми разными способами и один из них - математика.
Примерно в нулевом году (+-~300 лет) ноль-таки был обозначен известными нам цивилизациями.
"0" - made in China =)
Не удивляйтесь. Вполне возможно, запись числа ноль пришла из Китая.
Во всяком случае, насколько мне известно, самые древние записи нуля (маленькая точка) были найдены именно на территории тогдашней Китайской империи. Книги свидетельствуют, что китайцы сначала использовали пустую ячейку для представления числа ноль.
Хотя данный вопрос не так принципиален.
Намного интереснее, что можно сделать, зная о таком числе и имея подобную цифру?
Очень много. Ноль - самая могущественная сила во Вселенной, он может всё!
Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос... Впрочем, об этом можно рассуждать до бесконечности и даже дальше - до нуля :).
Применительно к нашей теме ноль позволил повсеместно использовать позиционную систему счисления.
Отдохните перед главными мыслями этой статьи.
Теперь рекомендую долго и старательно медитировать в процессе чтения.
Тем, кто не поймёт вопроса, дальше идти некуда. =(
Представьте такую незамысловатую верёвку.
Верёвка наглядно демонстрирует нашу систему счёта.
Что здесь есть?
Во-первых - направление счёта. Очень важный фактор для наглядного представления.
Во-вторых - 10 узелков
Ну и, конечно, нельзя забывать про 10 отрезков.
На рисунке выше пронумерованы отрезки.
Целью счёта мы определим именно отрезки.
Отрезки - предметы измерения.
Но что тогда будут символизировать узелки?
А вот что:
Ведь на нижнем узелке ещё нет отрезков.
Значит, туда мы поставим цифру 0.
А узел с цифрой 9 сообщает, что посчитано девять отрезков.
Таким образом, можно сказать:
узлы - "цифры",
отрезки - "числа".
Вообразите, что мы измеряем этой верёвкой размер земельного участка, фундамент будущего дома, оконные проёмы и мелкую мебель внутри.
Верёвка должна быть длиннее участка, но ведь при десяти узелках на такой длиннющей верёвке небольшие предметы измерять не получится. Что же делать?
Можно измерять маленькие предметы частями одного отрезка между целыми узелками (дробями). Не самый удобный способ (я дроби вообще не очень люблю =), но довольно долго мы так и делали. И вот наконец-таки для удобства маленькие отрезки мы тоже обозначили более мелкими узелками. Задумайтесь над этим.
Есть и другой способ. Сразу завести маленькую верёвку для небольших предметов...
Если при измерении большой верёвкой остался неизмеренный кусок меньше целого отрезка, можно там приложить эту маленькую верёвку и домерить.
Короче говоря, решений очень много, но все они рано или поздно приведут к позиционной системе счисления.
Так же, как и счёт: горшками, бочками, телегами и любыми более крупными объектами, чем конечные предметы счёта.
Вот как можно представить позиционный принцип записи чисел через наши верёвки:
Маленькая верёвка ровно умещается в одном отрезке большой верёвки.
Люди сообразили, что удобнее, когда на всех верёвках равное количество узелков.
Каждая следующая верёвка в 10 раз больше предыдущей.
10*10=100, столько маленьких отрезков во второй верёвке.
Давайте попробуем записать цифрами результат подсчёта ширины будущей дороги.
Три отрезка большой верёвки и один отрезок маленькой.
Запишем это так же, как на рисунке. Каждая бОльшая верёвка будет слева (дело было на Востоке =):
Выходит 31.
Но, как всегда, мы решили сэкономить на дороге. Ну, пусть не будет этого маленького отрезка.
Вот тут и пригодится запись цифры ноль.
Три отрезка большой верёвки и нет отрезков на маленькой, получается = 30.
Это и называется позиционный метод записи чисел.
Позиция здесь - очередное место для цифры (слева).
Конечно, можно записывать числа таким же методом, не используя цифру 0, но всё равно в позиции, где нет отрезков, будет хотя бы пустое место. Например, сверху мы пишем номер позиции, а снизу её значение:
Номер позиции - 4321 Значение - 4 3
Так я записал число 4030.
А можно записать, как в древности это делали китайцы:
| 4 | 3 |
В любом случае, экономия средств (речевых и письменных) - одна из важнейших сил развития языка. Ноль просто обязан был обзавестись собственным символом. А нам остаётся только радоваться, что это уже произошло.
Рассмотрим систему, получившуюся с верёвками.
Опять только целые числа, однако теперь к положительным (1,2,3...) прибавился ещё и ноль.
Как и раньше, система не ограничена, но направленна. Ведь мы можем предположить сколько угодно верёвок и все будем складывать только "вперёд".
Система построена на умножении, а не на сложении, как более древние.
И наконец-таки, важнейшая характеристика подобного представления.
Каждая следующая верёвка в P раз больше предыдущей.
Узелков на всех верёвках одинаковое количество = P.
P - это основание.
Основание - главная характеристика позиционной системы счисления. Оно равно количеству символов в системе.
Ещё нам пригодится такой термин, как разряд.
Разряд = номер позиции цифры минус один.
Разряд - положение цифры в числе за вычетом единицы. Рост разрядов у нас принят влево и считается от нуля.
Чтоб не запутаться в разных основаниях, назовём в этой статье количество предметов измерения просто количеством.
Количество - реальное число измеряемых предметов или отвлечённое число.
Выражать в тексте количество будем в системе с основанием 10d, так как она наша родная.
Но само количество не зависит от записи чисел, это вы должны хорошо понимать. Ведь как бы мы ни записывали, а от этого реальное число предметов совершенно не изменится.
Составим формулу, опираясь на верёвки (рисуйте их сами, если такой образ помогает).
Возьмём верёвки с четырьмя узелками и отрезками на каждой (основание - 4).
Измерим что-нибудь и получим такой результат:
3 самых маленьких отрезка, 2 отрезка из следующей верёвки, 0 отрезков из верёвки ещё большего размера и 2 самых больших отрезка.
То есть в четверичной системе счисления мы получаем:
2023
Основание = 4, значит, каждая следующая верёвка в 4 раза больше предыдущей.
Или по-другому: каждый следующий разряд в 4 раза больше.
Наша задача найти общую сумму самых маленьких отрезков (то есть количество).
Начиная с младшего разряда, мы будем складывать количества.
3 - уже определено, это и есть количество 3.
2 - это два отрезка по четыре маленьких в каждом 2*4= количество 8
0 - он и в Африке ноль
2 - это два отрезка, в которых 4 более маленьких, в которых 4 более маленьких, в которых 4 самых маленьких =).
Можно сначала посчитать количество в старшем разряде так:
2 *4=8. Мы узнали, сколько в четвёртой верёвке отрезков из третьей. 8 *4=32, теперь перевели в отрезки второй верёвки. И вот, наконец: 32*4= количество 128
Запишем по-человечески:
2*43=128
Все количества по отдельности мы узнали.
Очевидно, что если просто сложить количества, то получится искомый результат.
128+0+8+3=139
Если взять ещё несколько примеров из этой серии и чуть-чуть подумать, то записать красиво наш пример можно так:
2*43 + 0*42 + 2*41 + 3*40 = 139
Суть вот в чём:
значение цифры * основание, возведённое в степень разряда = количество за этой цифрой в данной позиции.
За базовую систему взята привычная нам dec. Поэтому, сложив все количества вместе, мы имеем десятичную запись числа.
Но если бы расчёты проводились, например, в hex-системе, мы получили бы шестнадцатиричное представление.
Обобщённый вид этой формулы вы уже видели, и теперь она не должна показаться такой страшной.
Есть ещё один забавный вопрос, вызывающий некоторые сложности при нулевом знакомстве с нашей системой счёта.
Все, наверное, знают, что десятичная система связана с пальцами рук, но, возможно, не все могут сказать, почему она не одиннадцатиричная. Ведь по сути каждый палец обозначает один предмет, а как я уже сказал, в позиционной системе основание равно количеству цифр. Значит, десять пальцев - это десять предметов плюс цифра ноль, получается = 11. Некоторые народы так и считали, но почему же десятичная система оказалась устойчивей?
Ответ кроется в кулаках =).
Возможно, на кулаках и была построена древнейшая позиционная система.
Дело в том, что загибая десятый палец, мы получаем два кулака.
Так вот, если два сжатых кулака становятся следующим разрядом, то можно сказать, что десятый палец и кулак - одна сущность = 10.
Давайте представим это в наших верёвочных образах.
Вы, наверное, заметили: на верхнем конце верёвок нет узелка.
Значит, старшая цифра 9 обозначает, что посчитано девять предметов счёта.
Куда же делся верхний узелок?
Хм... Попробуем доработать верёвку, замкнув её. Вот так:
Смотрите, как красиво получилось.
Всё сошлось - десять узелков, десять отрезков и нет никаких "обрезков".
Мы ведь на самом деле ведём счёт от нуля до нуля.
То есть в позиционной системе счисления цифра 0 одновременно и самая младшая, и самая старшая!
Пройдя круг, сделаем +1 к следующему разряду, создавая, таким образом, бесконечный цикл.
Из такого представления вытекает много интересных закономерностей.
Например, запись "10":
цифра "0" и слева стоящая цифра "1" всегда будут выражать основание.
Ведь на верёвке может быть сколько угодно узелков (от двух до бесконечности) и каждый из них может иметь цифру, но при этом мы всегда будем прибавлять единицу к следующему разряду только когда пройдём ноль.
Допустим, двоичная система может быть представлена так:
Да, круга не получилось. =/
Тут вообще на глаз один отрезок. Однако если мы вспомним про направление счёта, то станет понятно:
надо дойти до единицы и затем вернуться к нулю, только после этого выполняется +1 к следующему разряду.
Значит, мы были правы, 10b= количество 2.
Запомните это равенство:
10 = основание,
а по правилам современной математической записи:
10(p)=P,
где P - основание.
В позиционных системах оно будет выполняться всегда, пока мы используем для записи единичного количества и отсутствия предмета цифры 1 и 0 соответственно.
Теперь очень легко можно решать простые задачки вроде этой:
110=35+42
В какой системе это записано?
Достаточно сложить младший разряд:
5+2= количество 7
Затем старший:
3+4= количество 7
Получилось равенство:
110= количество 77
Осталось только сократить:
10= количество 7
Ответ: в семеричной системе.
Ах да, чуть не забыл, уроки-то про Ассемблер =).
Всё! Сворачиваем отвлечение и возвращаемся к практике программирования.
Больше не будем говорить о математике. Сдалась она нам вообще? ;)
Bitfry
А для тех, кто серьёзно заинтересовался темой систем счисления, приведу полезную ссылку на статью "Система счисления" из Википедии.
Именно эта статья указана по нескольким причинам. Во-первых, она постоянно обновляется, во-вторых, там довольно интересный список литературы и ссылки уже долго "живут". Начать рекомендую с брошюрки "Популярные лекции по математике", выпуск 40.
Хотя я бы включил в список обязательного прочтения ещё одну книгу:
"История математики с древнейших времён до начала XIX столетия" (в трёх томах, под редакцией А. П. Юшкевича, изд-во "Наука", М., 1970).
Сам сейчас читаю ещё только первый том, и больше всего для этой статьи я почерпнул именно оттуда.
Впрочем, смотрите сами, что вам будет интересно.
